blogmatematikawatra

Kelas / Semester                              : XII /1

Materi Pokok                                    :kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi

Alokasi Waktu                                   : 8 JP

Kompetensi Dasar                  : 1.1 Menerapkan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi

 

Tujuan Pembelajaran

1.1.1	Melalui telaah buku teks, peserta didik dapat mengidentifikasi kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi dengan benar dan teliti
	Melalui telaah buku teks, peserta didik dapat menerapkan kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi dengan benar dan teliti

 A.       Diagram Pohon

Contoh :

jalur transportasi dari kota A ke kota B atau melalui kota C ke kota Z dapat digambarkan dengan menggunakan diagram pohon

 

Berapa jalur dapat terpilih untuk bepergian dari kota A ke kota D?

Jawab:

Banyak jalur dapat ditempuh 8 jalur.

1.     Aturan pengisian tempat (filling Slots)

Contoh:

Berapa banyak cara untuk memilih 3 pengurus OSIS yang terdiri dari ketua, sekretaris, dan bendahara dari 8 orang siswa?

 Jawab:

 

8

7

6

 

          Ketua                    sekteraris           bendahara

 Jadi, ada 8 x 7 x 6 = 336 cara memilih.

2.     Aturan perkalian dan penjumlahan

Jika suatu proses terdiri atas k tahap,

n₁ = banyaknya cara melakukan tahap ke-1

n₂ = banyaknya cara melakukan tahap ke-2

.

.

.

n_(k-1) = banyaknya cara melakukan tahap ke (k-1)

n_k = banyaknya cara melakukan tahap ke k

maka banyaknya cara melakukan k tahap dari proses itu adalah n₁ x n₂ x n₃ x ...xn_k.

Dari diagram pohon diperoleh:

Jalur ABZ = 3x2 = 6

Jalur ACZ = 2x1 = 2

Jika dijumlahkan maka jalur AZ 6+2 pilihan = 8 pilihan. Jadi terdapat 8 pilihan jalur dari kota A ke kota Z

 

Jadi kejadian pertama dapat terjadi dengan n1cara yang berbeda, kejadian kedua dapat terjadi dalam n2cara yang berbeda dan kejadian ketiga dapat terjadi dengan n3 cara yang berbeda, dan seterusnya, maka seluruh kejadian tersebut dapat terjadi dalam: n1x n2 x n3 x ... cara yang berbeda

 

 

Aturan ini disebut sebagai aturan pengisian tempat dan sering Disebut sebagai kaidah dasar membilang atau kaidah perkalian. 

 B.       Notasi faktorial

Jika n adalah bilangan bulat positif, maka perkalian bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n dinamakan n faktorial, ditulis n!, yaitu n! = n(n-1) (n-2) ...3.2.1

0! = 1

Contoh:

C.       Permutasi

Susunan yang mungkin dari unsur-unsur yang berbeda dengan memperhatikan urutannya disebut permutasi.

Secara umum, jika dari sebanyak n unsur dipilih r unsur, dicari permutasinya, dengan n ≥ r, maka banyaknya permutasi dari n unsur berbeda yangdiambil r unsur adalah:

_n P _r = n(n-1) (n-2) ... (n-r+1) =

Contoh:

a. 3! x ₅P₂ = 3 !

b. dari tiga orang pimpinan suatu perusahaan yaitu andi, Budi, Cecep akan dipilih seorang manager dan wakil manajer. Berapa alternatif kedua contoh tersebut mrnduduki jabatan-jabatan itu?

 Jawab:

Atau ₃P₂ =   alternatif

 

a.        Permutasi n unsur

Susunan atau urutan dari n unsur disebut permutasi n unsur dan dinotasikan dengan P(n, n).

P(n, n)

Contoh:

Berapakah banyaknya permutasi yang mungkin dari angka 1, 2, dan 3 yang dapat dibentuk?

Penyelesaian:

Permasalahan tersebut merupakan permutasi n unsur

P(3, 3) = 3! = 3 .2.1 = 6

b.       Permutasi r unsur dari n unsur yang berbeda

Misalkan ada n unsur yang berbeda, setiap penyusunan r unsur dari n unsur dengan memperhatikan urutan penyusunan disebut permutasi r unsur dari n unsur dan dinotasikan dengan P(n,r) atau nPr

Misalkan ada 4 huruf A, B, C, D. Akan disusun permutasi dua huruf dari empat huruf. Susunan huruf-huruf yang mungkin adalah

AB                  BA            CA           DA

AC                  BC             CB           DB

AD                  BD            CD           DC

Ternyata berdasarkan huruf-huruf pertama terdapat 4 permutasi. Berdasarkan huruf kedua(II) terdapat 4 permutasi. Jadi banyaknya permutasi keseluruhan adalah 4x3 = 12 permutasi.

c.        Permutasi beberapa unsur yang sama

Perhatikan unsur-unsur huruf yang membentuk kata MATEMATIKA. Permutasi dari susunan huruf-huruf ini akanmembentuk kata-kata berulang.

Jika unsur pertama muncul adalah n1 buah, unsur kedua muncul adalah n2 buah, dan seterusnya sampai unsur ke k maka diperoleh permutasi r unsur dari n2, n2,..., nk unsur adalah:

Contoh:

Banyaknya susunan yang berbeda yang dapat dibentuk dari kata “MATEMATIKA”

Jawab:

Jumlah huruf 10 buah

n1 = banyaknya huruf M = 2

n2 = banyaknya huruf A = 3

n3 = banyaknya huruf T = 2

maka banyaknya susunan yang berbeda adalah

d.       Permutasi siklis (lingkaran)

Adalah permutasi berupa penyusunan unsur dalam bentuk lingkaran

P(n, o) = (n-1)!

Contoh:

Dengan berapa cara 4 pohon dapat ditanam secara melingkar?

Jawab:

Unsur berbeda sebanyak n=4, maka (n-1) ! = (4-1)! = 3! = 6 susunan

D.       Kombinasi

Susunan yang mungkin dari beberapa unsur  yang tidak memperhatikan urutannya.

Secara umum

Mata Pelajaran                         : Matematika

Kelas / Semester                              : XII /1

                Materi Pokok                                    :Peluang kejadian

Alokasi Waktu                                   : 8 JP

Kompetensi Dasar                            : 1.2 Memecahkan masalah peluang suatu kejadian

                                                     

I.                                                                                                    TUJUAN PEMBELAJARAN

1.2.1	Melalui telaah buku teks, peserta didik dapat menyatakan kejadian dan ruang sampel suatu kejadian dengan tepat
1.2.2	Melalui telaah buku teks, peserta didik dapat menghitung frekuensi harapan suatu kejadian dengan cermat
1.2.3	Melalui telaah buku teks, peserta didik dapat menghitung peluang suatu kejadian saling lepas dan peluang kejadian saling bebas dengan menggunakan rumus dengan cermat dan teliti
1.2 4	Melalui telaah buku teks, peserta didik dapat memecahkan masalah peluang suatu kejadian dalam kehidupan sehari-hari dengan tepat

 

MATERI PELAJARAN

A.       Kejadian

Dari suatu percobaan akan diperoleh hasil dari percobaan itu. Hasil dari percobaan disebut kejadian. Kejadian yang tidak mungkin terjadi disebut sebagai kejadian mustahil dan kejadian yang bisa terjadi disebut kejadian yang pasti.

B.       Ruang sampel

Himpunan dari seluruh kejadian yang merupakan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel.

Contoh:

Percobaan mengambil secara acak sebuah kelereng dari 5 kelereng yang ada masing-masing berwarna merah, hitam, biru, kuning, dan putih.

Kejadiannya:

·         Terambilnya kelereng putih (P)

·         Terambilnya kelereng kuning (K)

·         Terambilnya kelereng biru (B)

·         Terambilnya kelereng hitam (H)

·         Terambilnya kelereng merah (M)

·         Ruang sampel {P, K, B, H, M}

C.  Peluang suatu kejadian

Jika suatu kejadian A dapat terjadi dengan n cara dari keseluruhan percobaan S cara dengan kemungkinan yang sama, maka peluang kejadian A dapat ditentukan :

D.       Kisaran nilai peluang

E.        Frekuensi harapan suatu kejadian

F.        Peluang kejadian majemuk

1)       Kejadian saling lepas (saling asing)

Kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika kejadian A dan B tidak dapat terjadi bersamaan.

Kejadian saling lepas juga diartikan jika kejadian a sudah terjadi, maka kejadian B tidak mungkin terjadi. Sehingga kedua kejadian tidak saling beririsan atau A  B = 0.

Peluang dua kejadian saling lepas adalah:

P(A atau B) = P(A  = P(A) + P(B)

Contoh:

Dua buah dadu dilempar secara serempak. Berapakah peluang munculnya mata dadu yang berjumlah 6 atau 10?

2)       Kejadian saling bebas

Kejadian A dan B dikatakan dua kejadian saling bebas bila kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya kejadian B, maka peluang dua kejadian saling bebas adalah:

P(A  = P(A) . P(B)

 Contoh:

Dalam sebuah kotak terdapat 4 kelereng berwarna merah dan 5 kelereng berwarna putih. Berapakah peluang terambilnya dua kelereng berwarna putih dengan cara mengambil satu persatu dengan pengembalian?

penyelesaian:

misal:

A adalah kejadian terambilnya kelereng putih

B adalah kejadian terambilnya kelereng putih setelah pengembalian

n(S) adalah jumlah kelereng dalam kotak, maka n(S) = 9